Question

（1）若不等式（a²-1）x²+2（a-1）x+4≥0对任意实数x都成立，求a的取值范围；
（2）若不等式x+2

2xy

≤a（x+y）对一切正数x、y恒成立，求正数a的最小值；
（3）若-3＜x＜1时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不等于0时由二次项系数大于0且判别式小于等于0得答案；
（2）x+2

2xy

≤a（x+y）对一切正数x、y恒成立，等价于a≥

x+2 2xy

x+y

对一切正数x、y恒成立，构造函数f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0，换元后利用导数得到单调性，进一步求得最值；
（3）当x=0时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0显然成立，当x≠0时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0可化为
a＜

6-4x

x2

+1，换元后配方求解a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，原不等式对任意实数x都成立，
当a=-1时，原不等式化为-4x+4≥0，不满足题意，
当a≠±1时，由

a2-1＞0 [2(a-1)]2-16(a2-1)≤0

，解得a≥1或a≤-

5

3

．
综上，a∈（-∞，-

5

3

]∪[1，+∞）；
（2）∵x+2

2xy

≤a（x+y）对一切正数x、y恒成立，
∴a≥

x+2 2xy

x+y

对一切正数x、y恒成立，
令f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0．
令

y x

=t＞0，则g（t）=

1+2 2 t

1+t2

，g′（t）=

-2( 2 t-1)(t+ 2 )

(1+t2)2

．
令g′（t）=0，解得t=

2

2

，可知当t=

2

2

时，g（t）取得极大值即最大值，
g（t）=

1+2 2 × 2 2

1+( 2 2 )2

=2．
∴a≥2．即a的最小值为2；
（3）当x=0时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0显然成立，
当x≠0时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0可化为，
a＜

6-4x

x2

+1，
即a＜

6

x2

-

4

x

+1=6(

1

x

-

1

3

)2+

1

3

，
∵-3＜x＜1且x≠0，
∴

1

x

＜-

1

3

或

1

x

＞1，
令t=

1

x

，则t＜-

1

3

或t＞1，且a＜6(t-

1

3

)2+

1

3

，
令f（t）=6(t-

1

3

)2+

1

3

，
则根据二次函数性质可知，
f（t）在（-∞，-

1

3

）上递减，在（1，+，∞）上递增，且f（-

1

3

）=f（1）=3，
∴f（t）＞3，
∵当-3＜x＜1时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，
∴a≤3．
∴a的取值范围是（-∞，3]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是压轴题．