Question

设n为满足C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n＜450的最大自然数，则n=

 

．

Answer 1

考点：组合及组合数公式

专题：计算题

分析：根据题意，利用r

C

r n

=n

C

r-1 n-1

，可将C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n变形可得C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n=n（

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…

C

n-1 n-1

）=n•2^n-1，结合题意可得n•2^n-1，＜450，且n为自然数，解可得答案．

解答： 解：根据题意，r

C

r n

=n

C

r-1 n-1

，
令t=C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n=n（

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…

C

n-1 n-1

）=n•2^n-1，
若C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n＜450，即n•2^n-1，＜450，且n为自然数，
解可得，n≤7，
则满足C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n＜450的最大自然数为7；
故答案为7．

点评：本题考查组合及组合数公式，解答的关键是利用r

C

r n

=n

C

r-1 n-1

进行变形化简．