Question

11．在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为1．
（1）求证：B₁D⊥平面AD₁C；
（2）求二面角D₁-AC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁D⊥平面AD₁C．
（2）求出平面AB₁C的一个法向量和平面AD₁C的一个法向量，由此能求出二面角D₁-AC-B₁的余弦值．

解答 证明：（1）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图，则D（0，0，0），A（1，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1），C（0，1，0），
设平面AD₁C的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
又$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∴平面AD₁C的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
又$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，1），∴B₁D⊥平面AD₁C．
解：（2）$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
设平面AB₁C的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
设二面角D₁-AC-B₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+1-1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∴二面角D₁-AC-B₁的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．