Question

3．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：$\sqrt{{{（x-a）}^2}+{{（y-b）}^2}}$可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=$\sqrt{{x^2}+4x+20}$+$\sqrt{{x^2}+2x+10}$的最小值为5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 f（x）=$\sqrt{{x^2}+4x+20}$+$\sqrt{{x^2}+2x+10}$=$\sqrt{（x+2）^{2}+（0-4）^{2}}+\sqrt{（x+1）^{2}+（0+3）^{2}}$，表示平面上点M（x，0）与点N（-2，4），O（-1，-3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．

解答 解：f（x）=$\sqrt{{x^2}+4x+20}$+$\sqrt{{x^2}+2x+10}$=$\sqrt{（x+2）^{2}+（0-4）^{2}}+\sqrt{（x+1）^{2}+（0+3）^{2}}$，表示平面上点M（x，0）与点N（-2，4），O（-1，-3）的距离和，
∴f（x）=$\sqrt{{x^2}+4x+20}$+$\sqrt{{x^2}+2x+10}$的最小值为$\sqrt{（-2+1）^{2}+（4+3）^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．