Question

14．已知△ABC，点E是三角形内一点，BE延长后交AC于点D，设∠DBC=30°，∠DCE=10°，∠ECB=20°，∠DBA=40°．
（1）若AB=$\frac{2}{sin40°}$，求AD的长；
（2）求证：∠BAE=60°．

Answer 1

分析 （1）根据图象和已知的角求出∠ADB，在△ABD中由正弦定理求出AD的长；
（2）根据题意在∠BAC的平分线上截取AO=AC，连接OA、OB、OC、OE，OA交BC于点F，根据图形和已知角的度数、三角形全等定理证明△ABO≌△AFC，由角的关系和外接圆的性质证明△OCE为正三角形，可得EO=EC，由三角形全等定理证明△AEO≌△AEC，得到∠OAE=20°，即可证明结论．

解答 解：（1）∵∠DCE=10°，∠ECB=20°，∴∠DCB=30°，
∵∠DBC=30°，∴∠ADB=∠DBC+∠BCD=60°，
在△ABD中，∠DBA=40°，AB=$\frac{2}{sin40°}$，
由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠ABD}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
AD=$\frac{AB•sin∠ABD}{sin∠ADB}$=$\frac{\frac{2}{sin40°}•sin40°}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
证明：（2）在∠BAC的平分线上截取AO=AC
连接OA、OB、OC、OE，OA交BC于点F．
①证△ABO≌△AFC（SAS），BO=CO
∵∠BAF=40°，∠ABF=70°，
∴∠AFB=70°，则AB=AF；
∵∠BAO=40°=∠FAC；AO=AC；
∴△ABO≌△AFC（SAS），∴BO=FC．∵AO=AC，∠OAC=40°，∴∠AOC=∠ACO=70°，
又∵∠CFO=∠ABF=70°，
∴∠AOC=∠CFO，FC=OC，∴BO=CO；
②证△COE为正三角形，EO=EC，
∵∠OCB=∠ACO-∠ACB=70°-30°=40°，∠OBC=40°，∴∠BOC=100°．
∵∠BEC=180°-30°-20°=130°．∴∠BEC+$\frac{1}{2}$∠BOC=180°，BO=CO，
∴O在BC的中垂线上，O为△EBC外接圆的圆心，∠BOC为圆心角．
∴OE=OC，
∵∠OCE=∠OCB+∠ECB=40°+20°=60°，∴
△OCE为正三角形，EO=EC；
③证△AEO≌△AEC，∠OAE=20°∵
AO=AC，AE=AE，EO=EC，∴△AEO≌△AEC（SSS）．
∴∠OAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∴∠BAE=∠BAO+∠OAE=40°+20°=60°．

点评 本题考查了正弦定理，三角形中角之间的关系，以及三角形全等定理的应用，作出辅助线是解题的关键，考查数形结合思想，推理论证能力．