Question

9．若sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，sin（α-β）=-$\frac{12}{13}$，
（1）求$\frac{tanα}{tanβ}$的值；
（2）若$\frac{π}{2}$＜α+β＜π，-$\frac{π}{2}$＜α-β＜$\frac{π}{2}$，求cos2α，sin2α．

Answer 1

分析 （1）利用两角差的正弦、余弦公式把条件展开，解方程求得$\frac{tanα}{tanβ}$的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）和cos（α-β）的值，再利用两角差的正弦、余弦公式求得cos2α，sin2α的值．

解答 解：（1）∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{4}{5}$，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-$\frac{12}{13}$，
∴sinαcosβ=-$\frac{4}{65}$，cosαsinβ=$\frac{56}{65}$，∴$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{sinαcosβ}{cosαsinβ}$=-$\frac{1}{14}$．
（2）若$\frac{π}{2}$＜α+β＜π，-$\frac{π}{2}$＜α-β＜$\frac{π}{2}$，则cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin（α+β）}^{2}}$=-$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-β）}$=$\frac{5}{13}$，
∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$•$\frac{5}{13}$-$\frac{4}{5}$•（-$\frac{12}{13}$）=$\frac{33}{65}$，
sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=$\frac{4}{5}•\frac{5}{13}$+（-$\frac{3}{5}$）•（-$\frac{12}{13}$）=$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦、余弦公式的应用，属于基础题．