Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$的定义域为集合A，集合B=x{x|ax-1＜0，a∈N^*}，集合C={{x|log₂x＜-1}．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆（A∩B），求a的值．

Answer 1

分析 （1）分别运用幂函数的定义域和一次方程的解法，可得A，B，再由交集的运算求出A∩B；
（2）运用对数函数的单调性，化简集合C，根据C⊆（A∩B），可得a的不等式，又a∈N^*，求出a的值．

解答 解：（1）集合A={x|x＞0}，集合B=$\{x|x＜\frac{1}{a}，a∈N*\}$，
∴A∩B=$\{x|0＜x＜\frac{1}{a}，a∈N*\}$．
（2）集合C═{x|log₂x＜log₂$\frac{1}{2}$}=$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}\}$，
∵C⊆（A∩B），
由（1）得A∩B=$\{x|0＜x＜\frac{1}{a}，a∈N*\}$．
∴$\frac{1}{a}$$≥\frac{1}{2}$，可得a≤2，
又a∈N^*
∴a=1或2．

点评 本题考查了函数定义域的求法，交集及其运算，集合的包含关系判断及应用，同时考查对数函数的单调性的运用，属于中档题．