Question

3．试判断函数y=$\sqrt{1-x}$在其定义域上的单调性．

Answer 1

分析 根据函数的解析式求出定义域，利用单调性的定义证明函数y=f（x）=$\sqrt{1-x}$在定义域是单调减函数．

解答 解：由1-x≥0得，x≤1，
所以函数y=$\sqrt{1-x}$的定义域是（-∞，1]；
且函数y=f（x）=$\sqrt{1-x}$在（-∞，1]上单调递减，证明如下：
设x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{1{-x}_{1}}$-$\sqrt{1{-x}_{2}}$
=$\frac{（1{-x}_{1}）-（1{-x}_{2}）}{\sqrt{1{-x}_{1}}+\sqrt{1{-x}_{2}}}$
=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{\sqrt{1{-x}_{1}}+\sqrt{1{-x}_{2}}}$，
∵x₁＜x₂≤1，∴x₂-x₁＞0，$\sqrt{1{-x}_{1}}$+$\sqrt{1{-x}_{2}}$＞0，
∴$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{\sqrt{1{-x}_{1}}+\sqrt{1{-x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
则函数y=f（x）=$\sqrt{1-x}$在（-∞，1]上是单调减函数．

点评 本题考查了函数的定义域求法，以及根据单调性定义进行证明，即取值、作差、变形、定号、下结论，对于解析式中出现根号往往需要进行有理化