Question

8．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点与顶点，确定双曲线的顶点与焦点，再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，确定双曲线的渐近线，从而求出椭圆的离心率．

解答 解：∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点与顶点，
∴双曲线的顶点是（0，±$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$），焦点是（0，±a），
设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞0，n＞0），
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{n}{m}$x，
∵m=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，n²=a²-m²=b²，
∴n=b，
∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，
∴m=n，
∴a²-b²=b²，
∴c²=a²-c²，
∴a²=2c²，
∴a=$\sqrt{2}$c
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的几何性质，考查椭圆的离心率，正确运用几何量的关系是解题的关键．