Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C．
（1）若C的坐标为（-1，1），求椭圆方程和圆C的方程；
（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得三角形BFO外接圆圆心为斜边BF中点C，由此求得b，c的值，结合隐含条件求出a，则椭圆方程和圆C的方程可求；
（2）由AD为圆C的切线，得到AD⊥CO，联立直线和椭圆方程求得A的坐标，由

OA

•

OC

=0得到a，b，c的关系式，结合隐含条件可求椭圆的离心率．

解答： 解：（1）∵三角形BFO为直角三角形，
∴其外接圆圆心为斜边BF中点C，
由C点坐标为（-1，1）得，b=2，c=2，
∴a²=b²+c²=8，
则圆半径r=CO=

2

，
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1，
圆方程为（x+1）²+（y-1）²=2；
（2）由AD与圆C相切，得 AD⊥CO，
BF方程为y=

b

c

x+b，
由

y= b c x+b x2 a2 + y2 b2 =1

，
得A(-

2a2c2

c(a2+c2)

，-

b3

a2+c2

)，
由

OA

•

OC

=0，得b⁴=2a²c²，
（a²-c²）²=2a²c²a⁴-4a²c²+c⁴=0，
解得：e=

2- 3

=

6

2

-

2

2

．

点评：本题考查了椭圆与圆的方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此题的关键是由平面几何知识得到对应的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．