Question

【题目】已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上， 的中心和的顶点均为原点，从， 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：

	3	-2	4
		0	-4

（1）求的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ： .；(2) .

【解析】试题分析：（1）先分析出点， 在抛物线上，点， 在椭圆上，利用待定系数法可得到的标准方程；（2）设， ，将代入椭圆方程，消去得，利用韦达定理以及中点坐标公式可得线段的垂直平分线的方程为，由点在直线上，得，结合判别式大于零可得实数的取值范围.

试题解析：：（1）设抛物线，则有，据此验证4个点知， 在抛物线上，易求.

设，把点， 代入得：

，解得，所以的方程为.

（2）设， ，将代入椭圆方程，消去得，

所以，即.①

由根与系数关系得，则，

所以线段的中点的坐标为.

又线段的垂直平分线的方程为，

由点在直线上，得，

即，所以，

由①得，所以，即或，

所以实数的取值范围是.