Question

3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+3s}\\{y=4s}\end{array}\right.$（s为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+4cosθ．
（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与x轴交于点P，且与曲线C相交于A、B两点，若|AB|是|PA|与|PB|的等比中项，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用将s=$\frac{y}{4}$，代入x=m+3s，整理即可求得直线l，将极坐标ρ=ρcos2θ+4cosθ两边同乘以ρ，整理求得曲线C的普通方程；
（Ⅱ）将直线l代入曲线C，求得关于t的一元二次方程，△＞0，求得m的取值范围，由韦达定理求得t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁•t₂=-$\frac{25m}{8}$，由|AB|²=|PA|•|PB|，可知（t₁+t₂）²=5t₁•t₂，代入即可求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）由直线l的参数方程得：x=m+3•$\frac{y}{4}$，
所以直线l的普通方程为4x-3y-4m=0；
由ρ=ρcos2θ+4cosθ得ρ²=ρ²cos2θ+4ρcosθ，即y²=2x，
所以，曲线C的普通方程为y²=2x．                         …（5分）
（Ⅱ）∵P（m，0），直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），将其代入y²=2x，
得：$\frac{16}{25}{t}^{2}$=2（m+$\frac{3}{5}t$），即8t²-15t-25m=0，
∵△=225+800m＞0，m＞-$\frac{9}{32}$，
由韦达定理可知：t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁•t₂=-$\frac{25m}{8}$
∵|AB|是|PA|与|PB|的等比中项，
∴|AB|²=|PA|•|PB|，即（t₁-t₂）²=|t₁•t₂|，
∴（t₁+t₂）²-4t₁•t₂=|t₁•t₂|，
显然当时m≥0不满足题意，于是m＜0，
∴（t₁+t₂）²=5t₁•t₂，
即（$\frac{15}{8}$）²=5（-$\frac{25m}{8}$），
∴m=-$\frac{9}{40}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程和普通方程的转化，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，等比中项的性质，考查计算能力，属于中档题．