Question

16．已知向量$\overrightarrow u$=（x，y）与向量$\overrightarrow v$=（x-y，x+y）的对应关系用$\overrightarrow v$=f（$\overrightarrow u$）表示．
（1）证明：对于任意向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$及常数m、n，恒有f（m$\overrightarrow a$+n$\overrightarrow b$）=mf（$\overrightarrow a$）+nf（$\overrightarrow b$）；
（2）证明：对于任意向量$\overrightarrow a$，|f（$\overrightarrow a$）|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow a$|；
（3）证明：对于任意向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$，若$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，则f（$\overrightarrow a$）⊥f（$\overrightarrow b$）．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}）$，$\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$，根据向量法则分别计算f（m$\overline{a}$+n$\overline{b}$），mf（$\overline{a}$）+nf（$\overline{b}$）即可得出结论；
（2）直接由向量运算法则求出$|f（\overline{a}）{|}^{2}$，则可得结论；
（3）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，由（1），（2）结论可得：$|f（\overline{a}）+f（\overline{b}）{|}^{2}=|f（\overline{a}）{|}^{2}+|f（\overline{b}）{|}^{2}$，进一步得到$f（\overrightarrow a）•f（\overrightarrow b）=0$，则可得结论．

解答 证明：（1）设$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}）$，$\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$，则$m\overrightarrow a+n\overrightarrow b=m（{x_1}，{y_1}）+n（{x_2}，{y_2}）=（m{x_1}+n{x_2}，m{y_1}+n{y_2}）$，
∵$f（m\overrightarrow a+n\overrightarrow b）=（m{x_1}+n{x_2}-m{y_1}-n{y_2}，m{x_1}+n{x_2}+m{y_1}+n{y_2}）$
$mf（\overrightarrow a）+nf（\overrightarrow b）=m（{x_1}-{y_1}，{x_1}+{y_1}）+n（{x_2}-{y_2}，{x_2}+{y_2}）$
=（mx₁-my₁+nx₂-ny₂，mx₁+my₁+nx₂+ny₂），
∴$f（m\overrightarrow a+n\overrightarrow b）=mf（\overrightarrow a）+nf（\overrightarrow b）$；
（2）∵$|f（\overrightarrow a）{|^2}=|（{x_1}-{y_1}，{x_1}+{y_1}）{|^2}={（{x_1}-{y_1}）^2}+{（{x_1}+{y_1}）^2}=2（x_1^2+y_1^2）=2|\overrightarrow a{|^2}$
∴$|f（\overrightarrow a）|=\sqrt{2}|\overrightarrow a|$；
（3）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，由（1），（2）结论可得：
$|f（\overrightarrow a）+f（\overrightarrow b）{|^2}=|f（\overrightarrow a+\overrightarrow b）{|^2}=2|\overrightarrow a+\overrightarrow b{|^2}=2（{\overrightarrow a^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}）=2|\overrightarrow a{|^2}+2|\overrightarrow b{|^2}=|f（\overrightarrow a）{|^2}+|f（\overrightarrow b）{|^2}$，
∴$f（\overrightarrow a）•f（\overrightarrow b）=0$，$f（\overrightarrow a）⊥f（\overrightarrow b）$．

点评 本题考查的知识点是平面向量的坐标运算，其中正确理解新定义向量$\overrightarrow u$=（x，y）与向量$\overrightarrow v$=（x-y，x+y）的对应关系用$\overrightarrow v$=f（$\overrightarrow u$）表示是解答本题的关键，是中档题．