Question

7．已知f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{{m}^{2}-2m+2}$为幂函数，且对任意x∈R均有f（-x）=f（x），又g（x）=log₂[af（x）-（3a-5）x+6a]在（1，+∞）上单调递增．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{{m}^{2}-2m+2}$为幂函数，可得m²-m-1=1，解得m的值．检验是否满足条件：对任意x∈R均有f（-x）=f（x），即可得出．
（Ⅱ）g（x）=log₂[af（x）-（3a-5）x+6a]=$lo{g}_{2}[a{x}^{2}-（3a-5）x+6a]$，令t=h（x）=ax²-（3a-5）x+6a，x∈（1，+∞），利用复合函数的单调性可得：t=h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增且恒大于0．对a分类讨论，利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{{m}^{2}-2m+2}$为幂函数，
∴m²-m-1=1，解得m=-1或m=2．
当m=-1时，f（x）=x⁵；当m=2时，f（x）=x²．
又对任意x∈R均有f（-x）=f（x），∴f（x）=x²．
（Ⅱ）g（x）=log₂[af（x）-（3a-5）x+6a]=$lo{g}_{2}[a{x}^{2}-（3a-5）x+6a]$，
令t=h（x）=ax²-（3a-5）x+6a，x∈（1，+∞），
则y=log₂t，t=h（x）．依题知，g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增．
∴t=h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增且恒大于0．
①当a=0时，h（x）=5x，x∈（1，+∞），符合要求；
②当a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{-（3a-5）}{2a}≤1}\\{h（1）=a-（3a-5）+6a≥0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤5．
综上所述，实数a的取值范围是[0，5]．

点评 本题考查了幂函数的单调性与奇偶性、一次函数与二次函数的单调性、对数函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．