Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的左右焦点分别为F₁、F₂，过F₂且倾角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，对以下结论：
①△ABF₂的周长为8；
②原点到l的距离为1；
③|AB|=

8

3

；
其中正确的结论有几个（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：①由椭圆的定义，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周长=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能导出△ABF₂的周长．②由F₁（-1，0），AB的倾斜角为

π

4

，知直线AB的方程为y=x+

2

．由

y=x+ 2 x2 4 + y2 2 =1

消去y，得关于x的方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韦达定理能够求出AB的长．

解答：解：①由椭圆的定义，
得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，
又AF₁+BF₁=AB，
所以，△ABF₂的周长=AB+AF₂+BF₂=4a．
又因为a²=4，
所以a=2，
故△ABF₂的周长为8．（6分）
②由条件，得F₁（-

2

，0），
因为过F₂且倾角为45°的直线l斜率为1，
故直线l的方程为y=x+

2

．（8分）
原点到l的距离为d=

| 2 |

2

=1，故②正确；
由

y=x+ 2 x2 4 + y2 2 =1

，
消去y，得3x²+4

2

x=0，（10分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得 x1+x2=-

4 2

3

，x1•x2=0．
所以 |AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

8

3

（14分）
故③正确．
故选A．

点评：本题考查三角形周长的求法和弦长的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用．