Question

19．已知集合A={a|ax²+4x-1≥-2x²-a，对于?x∈R恒成立}，集合B={x|x²-（2m+1）x+m（m+1）＜0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由ax²+4x-1≥-2x²-a对于?x∈R恒成立求出a的范围化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，结合A∩B≠∅，借助于两集合端点值间的关系求实数m的取值范围．

解答 解：ax²+4x-1≥-2x²-a对于?x∈R恒成立，即（a+2）x²+4x+a-1≥0对于?x∈R恒成立，
当a=-2时，不等式变为4x≥3对于?x∈R恒成立，显然不正确；
当a≠-2时，则$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{△={4}^{2}-4（a+2）（a-1）≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥2．
∴A={a|ax²+4x-1≥-2x²-a，对于?x∈R恒成立}={a|a≥2}，
又B={x|x²-（2m+1）x+m（m+1）＜0}={x|m＜x＜m+1}，且A∩B≠∅，
如图，

∴m+1＞2，即m＞1．
∴实数m的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．