Question

9．在△ABC中，a=bcosC+csinB，
（1）求B；
（2）若b=2，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数．
（2）利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$，
（2）由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，即4=a²+c²-$\sqrt{2}$ac，
∴4+$\sqrt{2}$ac=a²+c²≥2ac，即ac≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=4+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=c，即a=c=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$时取“=”，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac，
∴△ABC面积的最大值为$\sqrt{2}+1$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．