Question

4．给定集合A，1∉A，0∉A，若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A．
（1）已知2∈A，求A；
（2）已知a∈A，若A中只有三个元素，求a．

Answer 1

分析 （1）分别由a=2和$\frac{1}{1-a}$=2求出a的值，从而求出集合A中的元素；
（2）当a≠1时，$\frac{1}{1-a}$∈A，当$\frac{1}{1-a}$≠1，即a≠0时，1-$\frac{1}{a}$∈A，此时三个元素互不相等，进而得到答案．

解答 解：（1）当a=2时，$\frac{1}{1-a}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
此时：A={-1，2}，
当$\frac{1}{1-a}$=2时，解得：a=$\frac{1}{2}$，
此时：A={$\frac{1}{2}$，2}；
（2）若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=$\frac{a-1}{a}$∈A，
∴$\frac{1}{1-\frac{a-1}{a}}$=a∈A，
由a²-a+1≠0，
得：a≠$\frac{1}{1-a}$≠$\frac{a-1}{a}$，
∴A={a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}，
∴a≠1且a≠0．

点评 此题主要考查了元素与集合关系的判断，以及合情推理的运用，属于基础题．