Question

13．如图，焦点在x轴上的椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{3}$=1（a＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F₂P与y轴的正半轴交于A点，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，若|F₁Q|=4，则a=4．

Answer 1

分析 设△APF₁的内切圆的圆心为M，AF₁、AF₂与圆M的切点分别为E、F，连结ME、MF、MQ，由题意得EF₁=F₁Q=FF₂=4，PF=PQ，由此利用数形结合思想能求出结果．

解答 解：设△APF₁的内切圆的圆心为M，AF₁、AF₂与圆M的切点分别为E、F，
连结ME、MF、MQ，
由题意得EF₁=F₁Q=FF₂=4，PF=PQ，
∴2a=PF₁+PF₂=F₁Q+PQ+PF₂=F₁Q+PF+PF₂=F₁Q+FF₂=8，
∴a=4．
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的长半轴的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质及数形结合思想的合理运用．