Question

5．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），M是C₁上的动点，N点满足$\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$，N点的轨迹为曲线C₂．
（1）求曲线C₂的方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C₃的极坐标方程是ρ=2，正三角形的顶点都在C₃上，且A，B，C依逆时针排列，点A的极坐标为$（2，\frac{π}{6}）$，设P是C₂上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设N（x，y），M（x′，y′），由于$\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$代入曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=cosα}\\{{y}^{′}=2sinα}\end{array}\right.$为参数），化简整理即可得出；
（2）由曲线C₃的极坐标方程是ρ=2，化为x²+y²=4，由题意可得：A，B，C三点的直角坐标分别为$A（\sqrt{3}，1），B（-\sqrt{3}，1），C（0，-2）$，设P（2cosα，4sinα），利用两点之间的距离即可得出．

解答 解：（1）设N（x，y），M（x′，y′），由于$\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$代入曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=cosα}\\{{y}^{′}=2sinα}\end{array}\right.$为参数），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x=cosα}\\{\frac{1}{2}y=2sinα}\end{array}\right.$，
化为$\frac{{y}^{2}}{16}+$$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
（2）由曲线C₃的极坐标方程是ρ=2，化为x²+y²=4，
A，B，C三点的直角坐标分别为$A（\sqrt{3}，1），B（-\sqrt{3}，1），C（0，-2）$，
设P（2cosα，4sinα），
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²=36sin²α+24．
∵sin²α∈[0，1]，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围是[24，60]．

点评 本题考查了椭圆的参数方程及其变换、圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．