Question

16．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C的直二面角，D是AB的中点．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）证明平面COD中的直线CO⊥平面AOB即可；
（2）作出异面直线AO与CD所成的角，利用直角三角形的边角关系即可
求出异面直线AO与CD所成角的正切值．

解答 解：（1）如图所示，
Rt△AOC是通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，
∴CO⊥AO，BO⊥AO；
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，
即∠BOC=90°，
∴CO⊥BO；
又AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB；
又∵CO?面COD，
∴平面COD⊥平面AOB；
（2）作DE⊥OB于点E，连接CE，
∴DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角；
在 Rt△COE中，CO=BO=$\frac{1}{2}$AB=2，OE=$\frac{1}{2}$BO=1，
∴CE=$\sqrt{{CO}^{2}{+OE}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
又DE=$\frac{1}{2}$AO=$\sqrt{3}$，
∴tan∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
即异面直线AO与CD所成角的正切值是$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了直角三角形边角关系的应用问题，是综合性题目．