Question

已知椭圆

x2

2

+

y2

4

=1与射线y=

2

x（x≥0）交于点A，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C．
（Ⅰ）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值；
（Ⅱ）求三角形ABC的面积最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得A(1，

2

)，设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k，所以

y- 2 =k(x-1) 2x2+y2=4

，由此可知直线BC的斜率为定值，并且能够求出这个定值．
（Ⅱ）设BC方程为y=

2

x+m，由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

得4x2+2

2

mx+m2-4=0，得|BC|=

3

.

4- 1 2 m2

，A到BC的距离为d=

|m|

3

；由此可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意得A(1，

2

)，设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k，
所以

y- 2 =k(x-1) 2x2+y2=4

，代入得x1+x2=

2k2-2 2 k

2+k2

，又∵x₁=1，∴xB=

k2-2 2 k-2

k2+2

；同理xC=

k2+2 2 k-2

k2+2

．kBC=

yB-yC

xB-xC

=

kxB-k+ 2 +kxC-k- 2

xB-xC

=

2

为定值．（8分）
（Ⅱ）设BC方程为y=

2

x+m，由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

得4x2+2

2

mx+m2-4=0，得|BC|=

3

.

4- 1 2 m2

，A到BC的距离为d=

|m|

3

；
所以S△=

1

2

|BC|•d=

1

2

|m|

4- 1 2 m2

=

1

2

m2(4- 1 2 m2)

=

2

4

m2(8-m2)

≤

2

．
当m²=8-m²时，即m²=4时“=”成立，此时△＞0成立．（14分）

点评：圆锥曲线的综合大题，主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力．基本上是每年一道大题．主要是以直线与圆锥曲线的位置关系的形式出现．考查学生基本方法和基本运算，值得引起重视的一个现象是字母多的运算，同时要注意其与平面向量以及导数的知识的综合命题．