Question

19．数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，则使log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n＞100成立的最小自然数n=14．

Answer 1

分析 求出数列{a_n}的通项公式，把不等式化为$\frac{n（n+1）}{2}$＞100，求出不等式的解集即得结果．

解答 解：∵数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ，n∈N^*，
∴log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n=log₂（a₁•a₂•a₃…a_n）
=log₂（2×2²×2³×…×2ⁿ）
=log₂（2^1+2+3+…+n）
=$\frac{n（n+1）}{2}$；
令$\frac{n（n+1）}{2}$＞100，
即n²+n-200＞0，
解得n＜$\frac{-1-\sqrt{801}}{2}$或n＞$\frac{-1+\sqrt{801}}{2}$；
∴使不等式成立的最小自然数n=14．
故答案为：14．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了等比数列的通项公式的应用问题，是综合性题目．