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(2012•马鞍山二模)下面四个命题:
①命题“?x∈R,使得x2+x+l<0”的否定是真命题;
②一组数据18,21,19,a,22的平均数是20,那么这组数据的方差是2;
③已知直线l1:a2x-y+6=0与l2:4x-(a-3)y+9=0,则l1⊥l2的必要条件是a=-1:
④函数f(x)=|lgx|-(
12
x有两个零点x1、x2,则一定有0<x1x2<1.
其中真命题是
①②④
①②④
(写出所有真命题的序号).
分析:①根据命题“?x∈R,使得x2+x+l<0”是假命题,其否定为真命题,从而得到答案.
②先由平均数的公式计算出a的值,再根据方差公式计算.
③根据l1⊥l2 ,斜率之积等于-1可得a2×
4
a-3
=-1,由此求得a的值.
④先将f(x)=|lgx|-(
1
2
x有两个零点转化为y=|lgx|与y=2-x有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在(0,1)和(1,+∞)内,即可得到-2-x1=lgx1和2-x2=lg x2,然后两式相加即可求得x1x2的范围.
解答:解:①∵命题“?x∈R,使得x2+x+l<0”是假命题
∴否定命题真命题;正确;
②:a=5×20-1(8+21+19+22)=20,
s2=
1
5
[(18-20)2+(21-20)2+(19-20)2+(20-20)2+(22-20)2]=2.
③∵l1⊥l2 ,∴a2×
4
a-3
=-1,4a2+a-3=0,解得 a=3或-1.故③不正确;
:f(x)=|lgx|-(
1
2
x有两个零点x1,x2
即y=|lgx|与y=2-x有两个交点
由题意x>0,分别画y=2-x和y=|lgx|的图象
发现在(0,1)和(1,+∞)有两个交点
不妨设 x1在(0,1)里 x2在(1,+∞)里
那么 在(0,1)上有 2-x1=-lgx1,即-2-x1=lgx1…①
在(1,+∞)有2-x2=lg x2…②
①②相加有2-x2-2-x1=lgx1x2
∵x2>x1,∴2-x2<2-x1 即2-x2-2-x1<0
∴lgx1x2<0
∴0<x1x2<1.正确.
故答案为:①②④.
点评:考查命题、统计、逻辑、函数零点、指对数函数性质等,较难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•马鞍山二模)设同时满足条件:①
bn+bn+2
2
bn+1
;②bn≤M(n∈N+,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=
a
a-1
(an-1)
(a为常数,且a≠0,a≠1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
2Sn
an
+1
,若数列{bn}为等比数列,求a的值,并证明此时{
1
bn
}
为“嘉文”数列.

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(2012•马鞍山二模)现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查,随机抽查了50人,他们月收入(单位:百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表:
月收入(单位百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 8 12 5 2 1
(Ⅰ)根据以上统计数据填写下面2×2列联表,并回答是否有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异?
月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计
赞成 a= b=
不赞成 c= d=
合计
(Ⅱ)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查,求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率.
(参考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d.)
参考值表:
P(k2≥k0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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(2012•马鞍山二模)已知椭圆C1
x2
m+2
+
y2
n
=1
与双曲线C2
x2
m
-
y2
n
=1
共焦点,则椭圆C1的离心率e的取值范围为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•马鞍山二模)己知在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a、b、c,向量
m
=(a2+b2-c2,ab),
n
=(sinC,-cosC),且
m
n

(I)求角C的大小;
(II)当c=1时,求a2+b2的取值范围.

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(2012•马鞍山二模)设x1,x2是关于x的方程x2+mx+
1+m2
=0的两个不相等的实数根,那么过两点A(x1x12)B(x2x22)的直线与圆x2+y2=2的位置关系是(  )

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