Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若α∈(0，

π

2

)，且f（α）=1，求α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x-

π

6

），从而求得f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）若α∈(0，

π

2

)，则-

π

6

＜2α-

π

6

＜

5π

6

，再根据f（α）=1，可得sin（2α-

π

6

）=

1

2

，2α-

π

6

=

π

6

，由此解得α 的值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1=

3

sin2x-cos2x=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

），
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
（Ⅱ）若α∈(0，

π

2

)，则-

π

6

＜2α-

π

6

＜

5π

6

，再根据f（α）=2sin（2α-

π

6

）=1，可得 sin（2α-

π

6

）=

1

2

，
∴2α-

π

6

=

π

6

，解得 α=

π

6

．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，根据三角函数的值求角，属于中档题．