Question

【题目】已知二次函数满足下列3个条件:①函数的图象过坐标原点； ②函数的对称轴方程为； ③方程有两个相等的实数根.

（1）求函数的解析式；

（2）令，若函数在上的最小值为－3，求实数的值；

（3）令，若函数在内有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）由题意可设，再结合求解即可；

（2）讨论当时，当时，当时，函数在的单调性求最小值即可得解；

（3）先由，又函数在内有零点，则，再求解即可.

解：（1）由二次函数满足函数的图象过坐标原点，则可设，又函数的对称轴方程为，

则即，又方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根，则，即，即；

（2）由（1）得，

当时，在上为增函数，则，解得，不合题意，

当时，在上为减函数，则，解得，符合题意，

当时， ，解得，

故实数的值为或；

（3）由（1）得：，

由函数在内有零点，则方程在内有解，

则，解得，

故实数的取值范围为：.