Question

【题目】如图，圆锥的底面圆心为，直径为， 为半圆弧的中点， 为劣弧的中点，且．

（1）求异面直线与所成的角的大小；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析: (1)方法一: 找出异面直线PC与OE所成的角, 三角形AOC为等腰直角三角形, E为劣弧BC的中点, 所以 ,所以OE∥AC,则 或其补角为异面直线PC与OE所成的角,再计算; 方法二: 建立空间直角坐标系,分别求出的坐标, 利用向量数量积求出的夹角,再得到异面直线PC与OE所成的角; (2)方法一: 由(1)中的建系,求出平面APC的法向量,易得平面ACE的法向量为(0,0,1),用夹角公式,求出平面APC与平面ACE的夹角, 方法二: 取AC的中点为D,作出二面角的平面角,求出.

试题解析: （1）证明：方法（1）∵是圆锥的高，∴⊥底面圆，

根据中点条件可以证明∥，

或其补角是异面直线与所成的角；

所以

异面直线与所成的角是

方法(2)如图,建立空间直角坐标系,

,

,, ,

设与夹角,

异面直线与所成的角

（2）、方法（1）、设平面的法向量

，

平面的法向量

设两平面的夹角,则

所以二面角的大小是 ．

方法（2）、

取中点为，连接，又圆锥母线，∴

∵底面圆上∴

又为劣弧的中点，即有∈底面圆

∴二面角的平面角即为

∵为半圆弧的中点，∴又直径

∴

∵底面圆且底面圆O，∴

又∴△中，

∴ 所以二面角的大小是