【题目】如图,圆锥的底面圆心为,直径为
,
为半圆弧
的中点,
为劣弧
的中点,且
.
(1)求异面直线与
所成的角的大小;
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析: (1)方法一: 找出异面直线PC与OE所成的角, 三角形AOC为等腰直角三角形, E为劣弧BC的中点, 所以 ,所以OE∥AC,则
或其补角为异面直线PC与OE所成的角,再计算; 方法二: 建立空间直角坐标系,分别求出
的坐标, 利用向量数量积求出
的夹角,再得到异面直线PC与OE所成的角; (2)方法一: 由(1)中的建系,求出平面APC的法向量,易得平面ACE的法向量为(0,0,1),用夹角公式,求出平面APC与平面ACE的夹角, 方法二: 取AC的中点为D,作出二面角的平面角
,求出
.
试题解析: (1)证明:方法(1)∵是圆锥的高,∴
⊥底面圆
,
根据中点条件可以证明∥
,
或其补角是异面直线
与
所成的角;
所以
异面直线与
所成的角是
方法(2)如图,建立空间直角坐标系,
,
,
,
,
设与
夹角
,
异面直线与
所成的角
(2)、方法(1)、设平面的法向量
,
平面的法向量
设两平面的夹角,则
所以二面角的大小是
.
方法(2)、
取中点为
,连接
,又圆锥母线
,∴
∵底面圆上
∴
又为劣弧
的中点,即有
∈底面圆
∴二面角的平面角即为
∵为半圆弧
的中点,∴
又直径
∴
∵底面圆
且
底面圆O,∴
又∴△
中,
∴ 所以二面角
的大小是
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我校举行的 “青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛.为了了解本次比赛成绩情况,从中抽取了50名学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | [50,60) | 8 | 0.16 |
第2组 | [60,70) | a | ▓ |
第3组 | [70,80) | 20 | 0.40 |
第4组 | [80,90) | ▓ | 0.08 |
第5组 | [90,100] | 2 | b |
合计 | ▓ | ▓ |
(1)求出的值;
(2)在选取的样本中,从成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会,求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;
(3)根据频率分布直方图,估计这50名学生成绩的众数、中位数和平均数。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知甲、乙两个容器,甲容器容量为,装满纯酒精,乙容器容量为
,其中装有体积为
的水(
:单位:
).现将甲容器中的液体倒人乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中液体充分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过
次操作之后,乙容器中含有纯酒精
(单位:
),下列关于数列
的说法正确的是( )
A. 当时,数列
有最大值
B. 设,则数列
为递减数列
C. 对任意的,始终有
D. 对任意的,都有
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列命题中正确的是( )
A.过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个
B.过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个
C.过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
D.过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个
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【题目】已知为坐标原点,设动点
.
(1)当时,若过点
的直线
与圆
:
相切,求直线
的方程;
(2)当时,求以
为直径且被直线
截得的弦长为2的圆的方程;
(3)当时,设
,过点
作
的垂线,与以
为直径的圆交于点
,垂足为
,试问:线段
的长是否为定值?若为定值,求出这个定值;若不为定值,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从参加高二某次月考的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组后得到如右所示的部分频率分布直方图。观察图形信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求分数在内的频率;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在分数段的学生中抽取一个容量为6的样本,再从该样本中任取2人,求至多有1人在分数段
内的概率。
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