Question

11．已知x和y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{x+4≥y}\\{x≤4}\end{array}}\right.$，则目标函数z=x²+y²-2y的最小值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域
z=x²+y²-2y=x²+（y-1）²-1，
设m=x²+（y-1）²，则m的几何意义是区域内的点到定点D（0，1）的距离的平方，
由图象知D到直线AB：x+y-4=0的距离最小，
则d=$\frac{|1-4|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$，
则m=d²=（$\frac{3}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{9}{2}$，
此时z的最小值为z=m-1=$\frac{9}{2}$-1=$\frac{7}{2}$，
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式转化为距离问题是解决本题的关键．注意使用数形结合的数学思想．