Question

3．在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°，则$\frac{MA}{MC}$的最小值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，不妨设等边△ABC的边长为2，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°．点M在弦BC所对的弓形$\widehat{BMC}$上，∠BQC=120°．由图可知：当点M取与y轴的交点时，∠MBC=30°，可得：Q$（0，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$，A$（0，\sqrt{3}）$，C（1，0），M（x，y）．设参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，$\frac{|MA{|}^{2}}{|MC{|}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{5-4sinθ}{2-\sqrt{3}cosθ-sinθ}$=t，化为：sin（θ+β）=$\frac{5-2t}{\sqrt{（4-t）^{2}+（\sqrt{3}t）^{2}}}$≤1，解出即可得出．

解答 解：如图所示，
不妨设等边△ABC的边长为2，
∵M为△ABC内一动点，∠BMC=120°，
∴点M在弦BC所对的弓形$\widehat{BMC}$上，∠BQC=120°．
由图可知：当点M取与y轴的交点时，∠MBC=30°，
可得：Q$（0，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$，A$（0，\sqrt{3}）$，C（1，0），M（x，y）．
点M所在圆的方程为：${x}^{2}+（y+\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{4}{3}$．
设参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，
∴$\frac{|MA{|}^{2}}{|MC{|}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{3}co{s}^{2}θ+（-\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）^{2}}{（\frac{2\sqrt{3}}{3}cosθ-1）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）^{2}}$=$\frac{5-4sinθ}{2-\sqrt{3}cosθ-sinθ}$=t，
化为：sin（θ+β）=$\frac{5-2t}{\sqrt{（4-t）^{2}+（\sqrt{3}t）^{2}}}$≤1，
解得t≥$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{|MA|}{|MC|}$$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了等边三角形的性质、圆的性质、直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．