Question

9．二次函数f（x）的图象过原点，且对?x∈R，恒有-3x²-1≤f（x）≤6x+2．设数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=f（a_n）
（I）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）证明：a_n+1＞a_n；
（Ⅲ）证明：$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$≤a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{n}{2}$（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （Ⅰ）设函数f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0⇒c=0，利用f（x）≤6x+2，可得对任意的x∈R恒成立，必有b＜4且△≤0，整理得b=2，即可确定函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）由a_n+1=f（a_n）=-2a_n²+2a_n，所以a_n+1-a_n=-2（a_n-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$．要证a_n+1＞a_n，即证-2（a_n-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$＞0，只要证a_n∈（0，$\frac{1}{2}$），利用数学归纳法进行证明即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，a_n∈（0，$\frac{1}{2}$），可得不等式的右边；再由a_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{{2}^{n-1}}}$，运用不等式的性质和等比数列的求和公式即可得到不等式的左边成立．

解答 解：（I）设函数f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=0，可得c=0，
令-3x²-1=6x+2，有x²+2x+1=0，即x=-1，
故f（-1）=-4，所以a-b=-4，
所以f（x）=（b-4）x²+bx，
由f（x）≤6x+2得（b-4）x²+（b-6）x-2≤0，
对任意的x∈R恒成立，必有b＜4且△≤0，
整理得（b-2）²≤0，解得b=2，a=-2，
所以f（x）=-2x²+2x；
（Ⅱ）证明：因为a_n+1=f（a_n）=-2a_n²+2a_n，
所以a_n+1-a_n=-2（a_n-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$．
要证a_n+1＞a_n，即证-2（a_n-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$＞0，
只要证a_n∈（0，$\frac{1}{2}$），
当n=1，a₁=$\frac{1}{3}$∈（0，$\frac{1}{2}$），显然成立；
设n=k时，a_k∈（0，$\frac{1}{2}$），
则a_k+1=-2a_k²+2a_k=-2（a_k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$∈（0，$\frac{1}{2}$），
综上对?n∈N^*，a_n∈（0，$\frac{1}{2}$），
所以a_n+1＞a_n；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得，a_n∈（0，$\frac{1}{2}$），
可得a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{n}{2}$成立；
由a₁=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2•3}$，a₂=$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{2}}$，
a₃=$\frac{40}{81}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{4}}$，…，a_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{{2}^{n-1}}}$，
即有a₁+a₂+…+a_n=$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+…+$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}}$）
＞$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）
=$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$．
综上可得，$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$≤a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{n}{2}$（n∈N⁺）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法和判别式法，考查不等式的证明，注意运用数学归纳法和不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．