Question

20．已知函数f（x）=|x+2a|+|x-$\frac{1}{{a}^{2}}$|．
（1）当a=1时．求不等式f（x）≤9的解集：
（2）若不等式f（x）≥m对任意实数x和任意正实数a恒成立．求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的几何意义，求得不等式的解集．
（2）由条件利用绝对值三角不等式，求得函数f（x）的最小值，可得m的范围．

解答 解：（1）当a=1时．求不等式f（x）≤9，即|x+2|+|x-1|≤9．
而|x+2|+|x-1|表示上轴上的x对应点到-2、1对应点的距离之和，而-5和4对应点到-2、1对应点的距离之和正好等于9，
故|x+2|+|x-1|≤9的解集为[-5，4]．
（2）若不等式f（x）≥m对任意实数x和任意正实数a恒成立，故m≤f（x）_min．
∵f（x）=|x+2a|+|x-$\frac{1}{{a}^{2}}$|≥|x+2a-（x-$\frac{1}{{a}^{2}}$）|=|2a+$\frac{1}{{a}^{2}}$|=|a+a+$\frac{1}{{a}^{2}}$|=|a|+|a|+|$\frac{1}{{a}^{2}}$|≥3，
∴m≤3．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的性质以及解法，绝对值三角不等式，属于中档题．