Question

10．设f（x）为奇函数，且当x＞0，f（x）=x（1+$\root{3}{x}$）．
（1）求f（1），f（-2）的值；
（2）求f（x）在R上的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，即可求f（1），f（-2）的值；
（2）利用奇函数的对称性即可求f（x）在R上的表达式．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，且当x＞0，f（x）=x（1+$\root{3}{x}$）．
∴f（1）=1+1=2，
f（-2）=-f（2）=-2×$（1+\root{3}{2}）$=-2+2•$\root{3}{2}$；
（2）∵f（x）为奇函数，且当x＞0，f（x）=x（1+$\root{3}{x}$）．
∴f（0）=0，
当x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x（1-$\root{3}{x}$）=-f（x），
即f（x）=x（1-$\root{3}{x}$），
即f（x）在R上的表达式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1+\root{3}{x}），}&{x≥0}\\{x（1-\root{3}{x}），}&{x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．