Question

10．已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设点R（x₀，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可以得到抛物线的焦点为$（\frac{p}{2}，0）$，而根据点到直线的距离公式得到$\frac{|p+2|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，而由p＞0即可得出p=2，从而得出抛物线方程为y²=4x；
（Ⅱ）容易求出R点坐标为（1，2），可设AB：x=m（y-1）+1，$A（\frac{1}{4}{{y}_{1}}^{2}，{y}_{1}），B（\frac{1}{4}{{y}_{2}}^{2}，{y}_{2}）$，直线AB方程联立抛物线方程消去x可得到y²-4my+4m-4=0，从而有y₁+y₂=4m，y₁y₂=4m-4．可写出直线AR的方程，联立y=2x+2即可得出${x}_{M}=-\frac{2}{{y}_{1}}$，而同理可得到${x}_{N}=-\frac{2}{{y}_{2}}$，这样即可求出$|MN|=2\sqrt{5}\sqrt{1+\frac{1}{m+\frac{1}{m}-2}}$，从而看出m=-1时，|MN|取到最小值$\sqrt{15}$，并且可得出此时直线AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）抛物线的焦点为$（\frac{p}{2}，0）$，$d=\frac{{|{p+2}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，得p=2，或-6（舍去）；
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）点R（x₀，2）在抛物线C上；
∴x₀=1，得R（1，2）；
设直线AB为x=m（y-1）+1（m≠0），$A（\frac{1}{4}{{y}_{1}}^{2}，{y}_{1}）$，$B（\frac{1}{4}{{y}_{2}}^{2}，{y}_{2}）$；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=m（y-1）+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，y²-4my+4m-4=0；
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4m-4；
AR：$y-2=\frac{{y}_{1}-2}{\frac{1}{4}{{y}_{1}}^{2}-1}（x-1）$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}（x-1）$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2=\frac{4}{{y}_{1}+2}（x-1）}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，得${x_M}=-\frac{2}{y_1}$，同理${x_N}=-\frac{2}{y_2}$；
∴$|{MN}|=\sqrt{5}|{{x_M}-{x_N}}|=2\sqrt{5}|{\frac{1}{y_2}-\frac{1}{y_1}}|=2\sqrt{5}\frac{{\sqrt{{m^2}-m+1}}}{{|{m-1}|}}=2\sqrt{5}\sqrt{1+\frac{m}{{{m^2}-2m+1}}}$=$2\sqrt{5}\sqrt{1+\frac{1}{{m-2+\frac{1}{m}}}}$；
∴当m=-1时，${|{MN}|_{min}}=\sqrt{15}$，此时直线AB方程：x+y-2=0．

点评 考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点坐标，以及点到直线的距离公式，曲线上的点的坐标和曲线方程的关系，过定点的直线方程的设法，以及直线的点斜式方程，韦达定理，弦长公式，复合函数的单调性，要清楚函数$y=x+\frac{1}{x}$的单调性．