Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（2，

3

），点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设l₁，l₂是过点G（

3

2

，0）且互相垂直的两条直线，l₁交E于A、B两点，l₂交E于C、D两点，求l₁的斜率k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线OM与直线ON的斜率之积为定值（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（2，

3

），点F₂在线段PF₁的中垂线上，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）设出直线l₁，l₂的方程，与椭圆方程联立，利用根的判别式，即可确定l₁的斜率k的取值范围；
（3）利用韦达定理，确定M，N的坐标，从而确定直线的斜率，即可得到结论．

解答：解：（1）由椭圆E的离心率e=

2

2

得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

，
∵点F₂在线段PF₁的中垂线上，∴|F₁F₂|=|PF₂|
∵F₁（-c，0），F₂（c，0）
∴（2c）²=（2-c）²+（

3

）²
解得c=1，a²=2，b²=1
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由题意知，直线l₁的斜率存在并不为零，
∴l₁：y=k（x-

3

2

），∴l₂：y=-

1

k

（x-

3

2

）
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-  3 2 )

消去y并化简整理，得（1+2k²）x²-6k²x+

9

2

k²-2=0，
根据题意，△=（-6k²）²-4（1+2k²）（

9k2

2

-1）＞0
∴k²＜4
同理（-

1

k

）²＜4，∴k²＞

1

4

，∴

1

4

＜k²＜4
∴k∈（-2，-

1

2

）∪（

1

2

，2）；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则x₁+x₂=

6k2

1+2k2

∴x₀=

x1+x2

2

=

3k2

1+2k2

，∴y₀=k（x₀-

3

2

）=-

3k

2(1+2k2)

∴M（

3k2

1+2k2

，-

3k

2(1+2k2)

）
同理N（

3

k2+2

，

3k

2(k2+2)

）
∴k_OM•k_ON=-

1

2k

×

k

2

=-

1

4

，
即直线OM与直线ON的斜率之积为定值为-

1

4

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键．