【题目】某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛,总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如表,其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人.该校政教处为使颁奖仪式有序进行,气氛活跃,在颁奖过程中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐,其中二等奖代表队有5人(同队内男女生仍采用分层抽样)
名次 性别 | 一等奖 代表队 | 二等奖 代表队 | 三等奖 代表队 |
男生 | ? | 30 | ◎ |
女生 | 30 | 20 | 30 |
(1)从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台领奖,用X表示女生上台领奖的人数,求X的分布列和数学期望E(X).
(2)抽奖活动中,代表队员通过操作按键,使电脑自动产生[﹣2,2]内的两个均匀随机数x,y,随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序.若电脑显示“中奖”,则代表队员获相应奖品;若电脑显示“谢谢”,则不中奖.求代表队队员获得奖品的概率.
【答案】(1)分布列详见解析,数学期望E(X);(2).
【解析】
(1)设代表队共有n人,则,所以n=160,再设一等奖代表队男生人数为x,可根据表格中的数据列出关于x的方程,解之可得x=30,因此三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖:二等奖:三等奖=6:5:5,故前排就坐的16人中一等奖代表队共6人,有3男3女,所以X的可能取值为0,1,2,3,然后根据超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列,进而求得数学期望;
(2)试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2},事件A表示代表队队员获得奖品,所构成的区域为,然后依次求出两个区域的面积,根据几何概型即可得解.
(1)设代表队共有n人,则,所以n=160,
设一等奖代表队男生人数为x,则x+30+20+30+(x﹣10)+30=160,解得x=30,
所以一等奖代表队的男生人数为30,
所以三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖:二等奖:三等奖=60:50:50=6:5:5,
故前排就坐的16人中一等奖代表队有3男3女,共6人.
于是X的可能取值为0,1,2,3.
则P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3),
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
∴数学期望E(X).
(2)试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2},面积为SΩ=4×4=16,
事件A表示代表队队员获得奖品,所构成的区域为,
如图,阴影部分的面积为,
这是一个几何概型,所以,即代表队队员获得奖品的概率为.
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【题目】点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于轴上方,.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.
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【题目】年年初,新冠肺炎疫情防控工作全面有序展开.某社区对居民疫情防控知识进行了网上调研,调研成绩全部都在分到分之间.现从中随机选取位居民的调研成绩进行统计,绘制了如图所示的频率分布直方图.
求的值,并估计这位居民调研成绩的中位数;
在成绩为,的两组居民中,用分层抽样的方法抽取位居民,再从位居民中随机抽取位进行详谈.记为位居民的调研成绩在的人数,求随机变量的分布列.
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【题目】已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.
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【题目】某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据,绘制了下面的折线图.( )
已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据折线图,下列结论正确的是
A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D.最低气温低于0 ℃的月份有4个
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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【题目】有2008名学生参加大型公益活动.若有两名学生互相认识,则将这两名学生看作一个合作小组.
(1)求合作小组数目的最小值,使得无论学生认识的情况如何,都存在三名学生,他们两两都在一个合作小组;
(2)若合作小组数目为,证明:存在四名学生、、、,使得和、和、和、和分别为一个合作小组.
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【题目】已知点O为坐标原点,椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点I,J分别是椭圆C的右顶点、上顶点,△IOJ的边IJ上的中线长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点H(-2,0)的直线交椭圆C于A,B两点,若AF1⊥BF1,求直线AB的方程.
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