Question

3．某生产流水线由于改进了设备，预计改进后第一年年产量的增长率为160%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量是a
（Ⅰ） 写出改进设备后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n年与第n-1年的产量之间的关系式（n≥2，n∈N）；
（Ⅱ） 由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的5%，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设第n年的产量为a_n，利用“第一年年产量的增长率为160%，以后每年的增长率是前一年的一半”，计算、化简可得结论；
（Ⅱ）通过（I）及题意a_n=a_n-1（1+$\frac{1}{5}$•$\frac{1}{{2}^{n-4}}$）（1-5%），要使a_n＜a_n-1只需（1+$\frac{1}{5}$•$\frac{1}{{2}^{n-4}}$）（1-5%）＜1，化简、计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设第n年的产量为a_n，则：
a₁=a（1+160%）=$\frac{13}{5}$a，
a₂=a（1+160%）（1+80%）=$\frac{117}{25}$a，
a₃=a（1+160%）（1+80%）（1+40%）=$\frac{819}{125}$a，
∴a_n=a_n-1（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$•160%）=a_n-1（1+$\frac{1}{5}$•$\frac{1}{{2}^{n-4}}$）（n≥2）；
（Ⅱ）依题意得，a_n=a_n-1（1+$\frac{1}{5}$•$\frac{1}{{2}^{n-4}}$）（1-5%），
若以后每年的产量逐年减少，即a_n＜a_n-1，
∴（1+$\frac{1}{5}$•$\frac{1}{{2}^{n-4}}$）（1-5%）＜1，
∴1+$\frac{1}{5}$•$\frac{1}{{2}^{n-4}}$＜$\frac{20}{19}$，
∴2^n-4＞$\frac{19}{5}$，
∵2¹＜$\frac{19}{5}$＜2²，
∴n-4≥2，
即n≥6时，a_n＜a_n-1，
故从第6年起，年产量比上一年减少．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．