Question

18．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边
（1）若$\frac{a}{c}＜cosB$，试判断△ABC的形状．
（2）若cos2A+3cosA=1，a=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据余弦定理得$\frac{a}{c}＜\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，化简得a²+b²-c²＜0，从而可得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}＜0$，解得C为钝角，即可得解．
（2）由cos2A+3cosA=1，可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），解得A=$\frac{π}{3}$，根据余弦定理可得b²+c²-bc=3，根据基本不等式可得：bc≤3，从而可求△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）根据余弦定理得$\frac{a}{c}＜\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，化简得a²+b²-c²＜0…（2分）
$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}＜0$，C为钝角
∴△ABC是钝角三角形…（5分）
（2）∵cos2A+3cosA=1
∴2cos²A+3cosA-2=0
∴（cosA+2）（2cosA-1）=0
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．…（8分）
根据余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=3，
根据基本不等式可得：bc≤3，当且仅当b=c时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{3\sqrt{3}}{4}$…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．