Question

1．已知抛物线y²=2px（p＞0），直线AB经过抛物线的焦点为F，则∠AOB的可能值为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 设出过焦点的直线方程，结合向量知识可得∠AOB不是直角，再由AB为抛物线的通径时∠AOB最大求出∠AOB正切值的最大值，从而排除选项C、D，则答案可求．

解答 解：由题意设AB所在直线方程为x=ty+$\frac{p}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得y²=2pty+p²，即y²-2pty-p²=0．
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${y}_{1}{y}_{2}=-{p}^{2}$，y₁+y₂=2pt，代入x=ty+$\frac{p}{2}$，得${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴cos$∠AOB=\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{-\frac{{3P}^{2}}{4}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}≠0$，
则∠AOB$≠\frac{π}{2}$；
当AB为抛物线的通径时∠AOB最大，此时tan∠AOF=2，
则tan∠AOB=$\frac{2×2}{1-{2}^{2}}=-\frac{4}{3}$＜-1，
∴∠AOB＜$\frac{3π}{4}$．
∴∠AOB的可能值为$\frac{2π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，是中档题．