Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b²+c²-a²=bc，sinBsinC=

3

4

，∠A=

π

3

，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：△ABC中，利用余弦定理可知A=

π

3

，于是C=

2π

3

-B，利用两角差的正弦与二倍角公式可求得sin（2B-

π

6

）=1，从而可求得B=

π

3

，于是可判断△ABC的形状．

解答： 解：∵△ABC中，b²+c²-a²=bc，
∴a²=b²+c²-bc，
又由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=

1

2

，A∈（0，π），
∴A=

π

3

；
∴C+B=π-A=

2π

3

，
∴C=

2π

3

-B，
∴sinBsinC=sinBsin（

2π

3

-B）=

3

4

，
即sinB[

3

2

cosB-（-

1

2

sinB）]=

3

4

sin2B+

1

4

（1-cos2B）=

3

4

，
整理得：

3

sin2B-cos2B=2，
∴2sin（2B-

π

6

）=2，sin（2B-

π

6

）=1，
∴2B-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴B=kπ+

π

3

（k∈Z），
又B∈（0，

2π

3

），
∴B=

π

3

，
∴△ABC为等边三角形．

点评：本题考查余弦定理的应用，着重考查两角差的正弦与二倍角公式的综合应用，考查三角恒等变换及运算求解能力，属于中档题．