Question

已知a∈R，函数f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e为自然对数的底数）．问函数f（x）是否为R上的单调递减函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，判断f'（x）≤0是否成立即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=（-x²+ax）e^x，
∴f'（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，
要使函数f（x）是否为R上的单调递减函数，
则f'（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x≤0，
即-x²+（a-2）x+a≤0，
∴x²-（a-2）x-a≥0恒成立，
∴△=（a-2）²+4a²≤0，
∴5a²-4a+4≤0，
∵△₁=16-4×5×4=-64＜0，
∴5a²-4a+4≤0不成立，
即函数f（x）在R上的不可能是单调递减函数．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，利用导数是解决本题的关键，要求熟练掌握一元二次不等式的解法．