Question

已知

a

=（sinx，-cosx），

b

=（cosx，

3

cosx），函数f（x）=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当0≤x≤

π

2

时，求x为何值时函数f（x）分别取最大最小值并求出最值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：首先利用向量的数量积得到函数的解析式，然后利用三角函数的倍角公式变形得到函数的最简形式，求最值以及周期和单调区间．

解答： 解：（1）由题意，f（x）=sinxcosx-

3

cos²x+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）；
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
∵f（x）递增，故有2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
即：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，（k∈Z）．
（2）∵0≤x≤

π

2

时，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

时，f（x）有最大值1，
当2x-

π

3

=-

π

3

时，即x=0时，f（x）有最小值-

3

2

．

点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算以及三角函数周期、最值以及得到区间的求法．关键是将三角函数解析式化为一个角的三角函数形式．