Question

在平面直角坐标系xOy中，线段AB与y轴交于点F（0，

1

2

），直线AB的斜率为k，且满足|AF|•|BF|=1+k²．
（1）证明：对任意的实数k，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；
（2）对（1）中的抛物线C，若直线l：y=x+m（m＞0）与其交于M、N两点，求∠MON的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出直线AB和抛物线C的方程并联立消y，在利用弦长公式求出AF和BF代入|AF|•|BF|=1+k²．即可求出抛物线C的方程；
（2）先把直线l的方程与抛物线C的方程联立消y，求出M、N两点横坐标之间的关系，再求出直线ON和MO的斜率，利用到角公式求出∠MON的正切．最后在利用函数的思想求出∠MON的正切值的范围，进而求出∠MON的取值范围．

解答：解：（1）由已知设l_AB：y=kx+

1

2

①
又设抛物线C：x²=ay（a＞0）②
由①②得x²-akx-

a

2

=0（2分）
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），，则x_A•x_B=-

a

2

由弦长公式得|AF|=

1+k2

|xA-0|=

1+k2

|xA|
|BF|=

1+k2

|xB-0|=

1+k2

|xB|（4分）
∴|AF|•|BF|=（1+k²）×|

a

2

|
而|AF|•|BF|=1+k²，所以a=2，即抛物线方程为C：x²=2y（6分）

（2）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），由

y=x+m x2=2y

?x²-2x-2m=0
而△4+8m＞0（m＞0）
则x_M+x_N=2，x_M•x_N=-2m，
kOM=1+

m

xM

，kON=1+

m

xN

（7分）
不妨设x_M＜x_N，由于m＞0，则x_M＜0＜x_N
令∠mon=θ≠

π

2

，则ON到OM的角为θ，且满足
tanθ=

kOM-kON

1+kOM•kON

=

2 1+2m

m-2

(m≠2)（9分）
令t=

1+2m

，则m=

t2-1

2

，t＞1且t≠

5

∴tanθ=

4t

t2-5

=

4

t+ -5 t

函数y=x与y=

-5

x

在（0，+∞）上皆为增函数
∴t-

5

t

∈（-4，0）∪（0，+∞）
∴

4

t+ -5 t

∈（-∞，-1）∪（0，+∞）（11分）
则θ∈（0，

π

2

）∪（

π

2

，

3π

4

），又m=2时，∠MON=θ=

π

2

∴∠MON∈（0，

3π

4

）（13分）

点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系以及弦长公式的应用问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．