Question

O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题：
①

OA

+

OB

+

OC

=0；
②

OD

+

OE

+

OF

=0；
③|

OD

|：|

OE

|：|

OF

|=cosA：cosB：cosC；
④?λ∈R，使得

AD

=λ（

. AB

| AB |sinB

+

AC

| AC |sinC

）．
以上命题正确的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由O点是锐角三角形ABC的外心，利用外心的概念，结合向量加法的平行四边形法则得到向量

OD

，

OE

，

OF

与向量

OA

，

OB

，

OC

的关系，运用反证法的思想得到命题①②均不正确；
利用三角形外接圆半径的关系，把|

OD

|：|

OE

|：|

OF

|转化为

OD

OC

：

OE

OA

：

OF

OB

，进一步转化为cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，借助于同弧所对圆心角是圆周角的2倍得到③|

OD

|：|

OE

|：|

OF

|=cosA：cosB：cosC；
利用正弦定理把命题④中的sinB和sinC替换为三角形的边长和外接圆的半径，由

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)替换整理可求出存在的实数λ的值．

解答：解：因为O是锐角三角形ABC的外心，所以O在△ABC内部，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，
则D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，
由向量加法的平行四边形法则可知，

OB

+

OC

=2

OD

，
若

OA

+

OB

+

OC

=

0

，则

OA

=-(

OB

+

OC

)，所以

OA

=-2

OD

，说明A，O，D一定共线，因为OD⊥BC，
所以AD⊥BC，则有AB=AC，而原三角形只是锐角三角形，不一定有AB=AC，所以命题①错误；
由

OD

=

1

2

(

OB

+

OC

)，

OE

=

1

2

(

OC

+

OA

)，

OF

=

1

2

(

OA

+

OB

)，
所以

OD

+

OE

+

OF

=

1

2

(2

OA

+2

OB

+2

OC

)=

OA

+

OB

+

OC

，
因为命题①不正确，所以命题②不正确；
因为O是△ABC的外心，所以OA=OB=OC，又OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB
所以OD：OE：OF=

OD

OC

：

OE

OA

：

OF

OB

=cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，
∵∠COD=

1

2

∠BOC=∠A，∠AOE=

1

2

∠COA=∠B，∠BOF=

1

2

∠AOB=∠C，
∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC，所以命题③正确；
在△ABC中，因为

| AC |

sinB

=

| AB |

sinC

=2R，
所以

AB

| AB |sinB

+

AC

| AC |sinC

=

2R

| AB |•| AC |

(

AB

+

AC

)，
因为

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，若?λ∈R，使得

AD

=λ（

. AB

| AB |sinB

+

AC

| AC |sinC

），
即

AD

=

2λR

| AB |•| AC |

(

AB

+

AC

)，则

2λR

| AB |•| AC |

=

1

2

，所以λ=

| AB |•| AC |

4R

．
所以?λ∈R，使得

AD

=λ（

. AB

| AB |sinB

+

AC

| AC |sinC

），所以命题④正确．
综上，正确命题是③④．
故选B．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角形的外心，明确三角形的外心是三边中垂线的交点是关键，考查了平面向量在三角形中的应用，属中档题．