Question

已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)²成正比，比例系数为4．
（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；
（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．

Answer 1

（1）y＝4x³－20x²＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能

解析试题分析：（1）根据收益等于单件利润与销售量的乘积，列等量关系.注意今年销售量等于原销售量与新增的年销量之和，另外还要注意交代函数定义域；y＝[1＋4(x－2)²](x－1)＝4x³－20x²＋33x－17，(1≤x≤2)．（2）本题实际需求本年收益范围，即需求函数y＝4x³－20x²＋33x－17，1≤x≤2的值域，这可借助于导数研究.
求导后可知函数图像先增后减再增，因此其最大值在极大值及处取到，比较大小知f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(2)＝1，即为往年的收益，所以商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．
试题解析：解 （1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)² (万件)．
因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益y＝[1＋4(x－2)²](x－1)
＝4x³－20x²＋33x－17，(1≤x≤2)．  4分
（2）由（1）知y＝4x³－20x²＋33x－17，1≤x≤2， 从而y′＝12x²－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．
令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：

x	(1，)		(，)		(，2)
f ′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	递增	极大值	递减	极小值	递增

 7分
又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．
而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，
所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．
10分
考点：函数解析式，利用导数求函数最值