Question

已知定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时的解析式为y=x²+2．
（1）求这个函数在R上的解析式；
（2）画出函数的图象并直接写出函数在R上的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）为定义在R上的奇函数，从而可求得x＜0时的解析式，最后用分段函数表示函数f（x）的解析式即可．
（2）根据（1）求的解析式作出图象即可．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0，
令x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x²+2，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
又f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=-x²+2x．
综上f（x）=

x2+2，x＞0 0 -x2+2x，x＜0

，
（2）图象如图所示：
由图象可得，函数f（x）值域为（-∞，-2）∪{0}∪（2，+∞）

点评：本题考查奇函数的解析式的求法，考查函数的值域的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．