Question

13．已知函数f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π，
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）由条件利用y=Asin（ωx+φ ）的周期等于 T=$\frac{2π}{ω}$，求得ω的值．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的单调性．

解答 解：（1）由于函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
故函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈z．
结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的增区间为[0，$\frac{π}{8}$]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈z．
结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的减区间为[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，利用了y=Asin（ωx+）的周期等于 T=$\frac{2π}{ω}$，还考查了正弦函数的单调性，属于基础题．