Question

4．已知函数f（x）=3cos2x（x∈R）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求不等式$f（x）+f（x-\frac{π}{4}）＞\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的性质结合函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）将不等式进行化简，结合辅助角公式，进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=3cos（-2x）=3cos2x=f（x），
∴函数f（x）是偶函数；
（2）不等式$f（x）+f（x-\frac{π}{4}）＞\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$等价为3cos2x+3cos（2x-$\frac{π}{2}$）=3cos2x+3sin2x＞$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即3$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）＞$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
则sin（2x+$\frac{π}{4}$）＞$\frac{1}{2}$，
即2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{24}$＜x＜kπ+$\frac{7π}{24}$，k∈Z，
即不等式的解集为（kπ-$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{7π}{24}$），k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件将不等式进行化简和转化是解决本题的关键．