Question

16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB的两个三等分点，F在BC边上，且$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FC}$，EF与BD交于点P，则$\frac{|BP|}{|PD|}$=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 设$\frac{|BP|}{|PD|}$=x，$\frac{|FP|}{|EP|}$=y，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，从而可得（$\frac{1}{3}$•$\frac{x}{1+x}$-$\frac{y}{1+y}$•$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{2}{3}$•$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$•$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，从而可得$\frac{1}{3}$•$\frac{x}{1+x}$-$\frac{y}{1+y}$•$\frac{2}{3}$=0且$\frac{2}{3}$•$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，从而解得．

解答 解：设$\frac{|BP|}{|PD|}$=x，$\frac{|FP|}{|EP|}$=y，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$；
故$\overrightarrow{BP}$=$\frac{x}{1+x}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{x}{1+x}$（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$），
$\overrightarrow{FE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$，
故$\overrightarrow{FP}$=$\frac{y}{1+y}$（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$），
$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{FP}$=$\frac{x}{1+x}$（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$）-$\frac{y}{1+y}$（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{BF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
∴（$\frac{1}{3}$•$\frac{x}{1+x}$-$\frac{y}{1+y}$•$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{2}{3}$•$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$•$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{1}{3}$•$\frac{x}{1+x}$-$\frac{y}{1+y}$•$\frac{2}{3}$=0且$\frac{2}{3}$•$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{x}{1+x}$=$\frac{4}{5}$，
故x=4；
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用及数形结合的思想应用．