Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=-$\frac{1}{4}$，c=2b，则sin（A-B）=$\frac{5\sqrt{15}}{64}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出a，b，c的关系，从而得到sinA，sinB，sinC的关系，求出sinA，cosA，sinB，cosB，代入差角的余弦函数公式计算．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}-3{b}^{2}}{2ab}=-\frac{1}{4}$，
∴2a²-6b²+ab=0，即2（$\frac{a}{b}$）²+$\frac{a}{b}$-6=0，解得$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{2}$．
∴a：b：c=3：2：4，即sinA：sinB：sinC=3：2：4．
∴cosC=-$\frac{1}{4}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，cosB＞0，cosA＞0．
∴sinA=$\frac{3}{4}$sinC=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，sinB=$\frac{1}{2}$sinC=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
∴cosA=$\frac{11}{16}$，cosB=$\frac{7}{8}$．
∴sin（A-B））=sinAcosB-cosAsinB=$\frac{3\sqrt{15}}{16}×\frac{7}{8}-\frac{11}{16}×\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{5\sqrt{15}}{64}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{15}}{64}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的关系，属于中档题．