Question

5．若f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），x∈[0，2π]，并且关于x的方程f（x）=m有两个不等的实根x₁，x₂，求m的取值范围，并求此时x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=m有2个不同的交点，且这两个交点的横坐标分别为x₁，x₂．再利用正弦函数的图象的对称性，数形结合求得x₁+x₂的值．

解答 解：当∈[0，2π]时，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]，函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象和直线y=f（x）=m有2个交点，
且x₁，x₂是这两个交点的横坐标；
作出f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）在[0，2π]上的简图，

由题意可得m∈（$\frac{1}{2}$，1）或m∈（-1，$\frac{1}{2}$）．
由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=m有2个不同的交点，
且这两个交点的横坐标分别为x₁，x₂；
当m∈（$\frac{1}{2}$，1）时，这两个交点关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
当m∈（-1，$\frac{1}{2}$）时，这两个交点关于直线x=$\frac{4π}{3}$对称，x₁+x₂=$\frac{8π}{3}$．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，正弦函数的图象的对称性，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．